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2014年3月12日 (水)
またもや「ウェイトバック集計」関連の論文。非比例層別抽出のような、個体のあいだで標本抽出確率が均一でない標本があるとき、確率ウェイティングの下での集計・検定を行うことは多いけど、では回帰分析や因子分析も「ウェイトバック」すべきか。これは大変難しい問題で、いつも答えに困る。厄介なことに、最近はソフトウェアが進歩して、単に「できません」と答えるわけにもいかなくなっている...
Muthen, B., & Satorra, A. (1995) Complex sample data in structural equation modeling. Sociological Methodology, 25, 267-316.
確率ウェイトつきの調査データに対する多変量解析についての概観が読みたくてめくった。掲載誌は年報のような感じ。
いやはや、長くて難しい内容であった。困るなあベン、もっと易しく書いてくれないとさあ。(←論文を何本も読んだのでもはやマブダチである。俺の中ではな)
まず、先行研究概観。complex sample design のデータ解析手法は2つに分けられる。
- aggregated analysis. 通常のパラメータ推定値を算出するけど、標準誤差や適合度を調整する。
- disaggregate analysis. 抽出構造を反映した新しいパラメータを導入する。
別の観点からは次の2つに分けられる。
- design-based approaches. 標本抽出論で発展してきた。有限母集団の特性の推定に関心がある。
- model-based approaches. ふつうの統計モデリング。なんらかの(超)母集団モデルを仮定し、そこから推定量を引き出す。
先日読んだGelmanさんも云ってたけど、いわゆるモデル・ベースのアプローチだって標本抽出デザインについての情報を使っているのだから、なんだか変な区別なんですけどね。まあこの業界の常識的区別なのであろう。以上の区別については、Skinner, Holt, Smith, eds.(1989) "Analysis of Complex Surveys"を参照せよとのこと。
で、先行研究を、単変量のデザイン・ベース、単変量のモデル・ベース、多変量、の3節に分けて紹介。
- 単変量のデザイン・ベース。これが一番多い。パラメータ推定の際にウェイトを使う。標準誤差の算出方法は4つある。(1)テーラー展開。(2)balanced repeated replication (BBR)。(3)ジャックナイフ法。(4)ブートストラップ法。レビューとして以下を参照せよとのこと: Wolter (1985) "Introduction to variance estimation"; Rust(1985, J.Official Stat.)。ぜってーよまねー。4つの方法の性能を比較した研究がいくつもあるらしいが、結局のところ、どれでも良いらしい。
- 単変量のモデル・ベース。さらに二つに分けられる。逆にいうと、この二つの両方を扱った研究はない。
- 抽出確率の不均一性を考慮する研究。母平均推定についてはLittle(1983JASA), 回帰モデリングについてはHolt, Smith & Winter (1980JRSS), Nathan & Holt(1980JRSS), Pfeffermann & Holmes(1985JRSS), Pfefferman & LaVange(1989, in Skinner et al.(eds))がある。デザイン・ベースの方法と比べてMSEが小さいよ、という研究が多い。残差分布の層間異質性をモデル化する研究もある(階層ベイズモデルみたいなものだろうか？ Little (1989)というのが挙げられている)。
- クラスタを考慮する研究。古典としてScott & Smith (1969)というのがある。クラスタ内相関をモデル化する分散成分モデルであったそうだ。以来、山ほど研究がある由。面倒なので省略するけど、教育研究での例として(学級がクラスタね)、Bock(1989, 書籍), Bryk & Raudenbush (1992, 書籍), それからLongfordという人のNAEPの研究が挙げられている。よくわからんけど、それって階層回帰モデルの話そのものではないかしらん。
- 多変量。研究は少ないが、以下の2つの領域で出現している。
- 対数線形モデル。ここ、面白いので丁寧に。研究例として、Freeman et al.(1976), Landis et al.(1987), Rao & Thomas (1988, Sociological Methodology) がある。これらの研究は、抽出確率の不均一性とクラスタリングの両方を考慮している。パラメータ推定や仮説検定にはGLSを使う。標本統計量 s (ここでは比率のベクトル)の共分散行列を、ウェイト行列Wで近似するという作戦である。Wの作り方として、Landisらはテイラー展開、Rao & Thomas はジャックナイフやBRRを使っている。また、Rao-Scottの「一般化deff行列」を使う方法、Fayのジャックナイフ・カイ二乗検定、Rao-ScottによるSRSカイ二乗の修正方法、などがある。ひえー。Rao & Thomas (1988)を参照せよとのこと。
- SEM。この辺はいまはちょっと古くなっていると思うので、省略。
以上はこの論文のほんの序盤で、ここからが本題。まず、SEMを一般的に定式化し、complex sampleに対するaggregatedのモデルとdisaggregatedのモデルを定式化する。それも正規性がある場合とない場合の両方について。正直いって私の能力の及ぶところではないので、パス。
で、モンテカルロ・シミュレーション。層やクラスタが出てくるややこしい標本抽出デザインのデータに対する回帰分析と因子分析について、(1)正規性を仮定したML推定(SRSを想定)、(2)robust normal theory に基づく推定(すなわちデザイン・ベース)、(3)マルチレベルモデル(すなわちモデル・ベース)の3つの性能を比較。(2)(3)の性能がいいね、云々。根気が尽きたのでパス。
というわけで、大部分はパラパラとめくっただけだけど、目的は達したので、読了ということにしておいてやろう。なんだかあれだな、散々殴られた挙句に「今日はこのくらいにしておいてやるか」と言い捨てて立ち去るチンピラみたいだな。
論文：データ解析(-2014) - 読了：Muthen & Satorra (1995) 複雑な標本抽出デザインのデータに対するSEM