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2018年10月15日 (月)
Reyes, M., Francisco-Fernandez, M., Cao, R. (2016) Nonparametric kernel density estimation for general grouped data. J. Nonparametric Statistics. 28(2), 235-249
仕事の都合で読んだ。
ヒストグラムから密度関数を推定したい(ヒストグラムの元データから推定するんじゃなくて)、しかもノンパラメトリックに...というのを、誰かが必ずやっているはずだ、と半日かけて探し続け、疲れ切って投げ出す寸前になって、ついに見つけた論文。
著者らはRのbinnednpパッケージの中の人。どうやらbinned kernel density estimationというキーワードで探すのが正解だったらしい。そうして探してみると、Rのパッケージが山ほどみつかる。なんだかなあ、もう...
いわく、
元の値を$(X_1, \ldots, X_n)$とする。間隔$[y_{j-1}, y_j) \ (j=1,\ldots, k)$が定義されていて、この間隔に落ちた個数が$(n_1, \ldots, n_k)$、割合が$(w_1, \ldots, w_k)$だとする。
仮に$(X_1, \ldots, X_n)$が観察できたら、密度推定には標準的なカーネル密度推定量(sKE)が使えるよね。
$(n_1, \ldots, n_k)$から密度推定する方法としては[...中略...]、ビンのサイズが均等なときについて、Scott & Sheather (1985)の binned kernel density estimator (BKE)というのがある。
本論文は、ビンのサイズが不均等の場合にも一般化して、$(w_1, \ldots, w_k)$から密度推定する方法(gBKE)を提案する。
どうやるかというと... [以下、すごく端折る。どうせわかんないもん]
ふつうのsKEってのはだね、カーネルを$K$, バンド幅を$h$として、
$\hat{f}^s_n(x) = \frac{1}{n} \sum_i^n \frac{1}{h} K \left(\frac{x-X_i}{h} \right)$
この漸近的MSEはわかっていて[...中略...] 最適なバンド幅というのも簡単に求められる。
これがBKEだと、各ビンの中央値を$t_i$として、
$\hat{f}^b_n(x) = \frac{1}{n} \sum_i^n \frac{n_i}{h} K \left(\frac{x-t_i}{h} \right)$
さて我々がご提案するgBKEは、
$\hat{f}^g_n(x) = \frac{1}{h} \sum_i^n w_i K \left(\frac{x-t_i}{h} \right)$
そのMSEは[...読んでない...]。最適なバンド幅は[...読んでない...]。
シミュレーションしました[...もちろんパス...]。
応用事例[...パス...]。
結論。gBKEは、漸近的に不偏な推定量です。標本サイズや分布にもよるのですが、大雑把な目安としては、ビンの幅の平均が標本の範囲の6%位までであればうまくいきます[ってことは、17カテゴリくらいはないといかんということか...]。
... すいません、肝心の内容は全然理解してないんですけど、雰囲気はわかったということでひとつご容赦いただきたい。
論文：データ解析(2018-) - 読了：Reyes, Francisco-Fernandez, & Cao (2016) ヒストグラムから元の確率密度を推定します、階級の幅が不均等でも大丈夫です