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2018年7月30日 (月)

Wakimoto (1971) Stratified random sampling (I) Estimation of the population variance. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 23(1), 233–252.
Wakimoto (1971) Stratified random sampling (II) Estimation of the population covariance. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 23(1), 327-337.
Wakimoto (1971) Stratified random sampling (III) Estimation of the correlation coefficient. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 23(1), 339-353.

 層別抽出デザインにおける母分散・母共分散・母相関の推定について述べた3本の論文。仕事の都合で読んだ。
 複雑な標本抽出デザインにおける推定量の分散について解説している資料は多いけど、母分散の推定について述べているものが全然見当たらず(探し方が悪いのかもしれないけど)、思い余って1971年の論文をめくった次第である。掲載誌は日本の統計数理研究所が出している英文誌。著者の脇本さんという方は昭和40年代に統数研に勤めていた方で、その後郷里の岡山大に移り、平成5年に亡くなった由。
 
 読んだというよりもめくったというのが正しいのだが、まあとにかく、だいたいどんなことが書いてあったかをメモしておく。

(I) 母分散の推定

 $X$の分布関数を$F(x)$とする。層の数を$L$とし、$i$番目の層の分布関数を$F_i(x)$とする。層の割合を$w_i$とする($\sum_i^L w_i = 1$)。

 定理1. $X_{i1}, \ldots, X_{in_i}$が$F_i(x)$にiidに従い、どの$i$についても$n_i \geq 2$であるとき、母分散$\sigma^2$の不偏推定量は
 $ U_{s,n}$
 $\displaystyle = \sum_i \frac{w^2}{n_i (n_i)} \sum_{k < l}^{n_i} (X_{ik}-X_{il})^2$
 $\displaystyle + \sum_{i < j}^L \frac{w_i w_j}{n_i n_j} \sum_k^{n_i} \sum_l^{n_j} (X_{ik} - X_{jl})^2$
 [なぜか最初からペアの差によって定義してあるので途方にくれたが、平均からの偏差によって定義すると、これは
 $\displaystyle U_{s,n} = \sum_i w_i U_i + \sum_i w_i (\bar{X}_i - \bar{X}_n)^2 - \sum_i \frac{w_i(1-w_i)}{n_i} U_i$
 となるそうだ。ただし$U_i$ってのは各層における不偏分散, $\bar{x}_n = \sum_i w_i \bar{X}_i$。第1項は層内分散、第2項は層別の標本平均を使って求めた層間分散、第3項は層間分散が標本平均を使っちゃっていることによるバイアスを補正する項なのだろうと思う]

 定理2. $U_{s,n}$の分散$V(U_{s,n})$は...[略]

 $U_{s,n}$の漸近正規性について... [難しくてよくわからん]

 $n_i = w_i n$とする場合を代表サンプリングないしBowleyサンプリングと呼び、標本サイズのことを「比例割当」と呼ぶ。このとき、母分散推定量$U_{s,p,n}$と$V(U_{s,p,n})$は...[略]
 いっぽう、単純無作為抽出のときの母分散推定量$U_{r,n}$と$V(U_{r,n})$は...[略]

 定理3. $V(U_{r,n}) - V(U_{s,p,n})$は...[略]

 というわけで、$n$が大きければ$V(U_{s,p,n})$は$V(U_{r,n})$より小さい。[←よく母平均推定において層別抽出は単純無作為抽出より有利だというけれど、母分散推定という観点から見ても、比例層別抽出は単純無作為抽出よか有利だってことね]
 いっぽう、層別をしくじったケースでは逆転することもある。たとえば$F_1(x) = F_2(x) = \cdots = F_L(x)$のときとか。[←なるほど...層別するからには層間で分布がちがわないといかんということね]

 $V(V_{s,n})$を最小化するように$n_i$を決めるという最適割当について考えると... [この節まるごとパスするけど、専門家というのはいろんなことを考えるものだなあ。なお、イントロにある要約によれば、理論上は最適割当を考えることはできるけど、そのために必要な事前情報がふつう手に入らないので、実務的には比例割当がお勧めである由。はっはっは]

 比例割当の場合の最適層別について... [まじか、母分散推定のために層別を最適化するなんていう発想もあるのか。ひょえー。パス]

(II) 母共分散の推定

 $X, Y$の同時分布関数を$F(x,y)$とする。母平均を$\mu_x, \mu_y$, 分散と共分散を$\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{xy}$とする[←論文(I)とちがって二乗の添字がついてない。面倒くさくなったのかな?]。層の数を$L$とし、$i$番目の層の同時分布関数を$F_i(x,y)$とする。

 定理1. $(X_{i1}, Y_{i1}), \ldots, (X_{in_i}, Y_{in_i})$が$F_i(x,y)$にiidに従い、どの$i$についても$n_i \geq 2$であるとき、母共分散$\sigma_{xy}$の不偏推定量は
 $\displaystyle U_s$
 $\displaystyle = \sum_i \frac{w^2}{n_i(n_i-1)} \sum_{k < l}(X_{ik}-X_{il})(Y_{ik}-Y_{il})$
 $\displaystyle + \sum_{i < j}\frac{w_i w_j}{n_i n_j} \sum_k^{n_i} \sum_l^{n_j} (X_{ik} - X_{jl})(Y_{ik} - Y_{jl})$
 [ここでもいきなりペアの差で定義してあるので面食らうわけですが、第1項は層内共分散、第2項は層間共分散なのでありましょう]

 定理2. $U_s$の分散$V(U_s)$は...[略]

 $U_{s}$の漸近正規性について... [難しくてよくわからん]
 推定量の精度は層別無作為抽出のせいでどのくらい改善するかというと...[パス]
 最適割当は...[パス]
 比例割当の場合の最適な層別は...[パス]

(III) 相関係数の推定

 母相関係数を$\rho_{xy}$とする。

 [まず$\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{xy}$の推定量とその分散についておさらいがあって...]
 $\rho_{xy}$の推定量を以下とする。
 $R_s = U_{s,xy} (U_{s,xx} U_{s,yy})^{-1}$
 [手元のPDFだと字がかすれちゃってよくわからないんだけど、たぶん上の式であっていると思う。えーと、ちょっと待って、これって一致推定量ではあるけど不偏じゃないと思うんですけど、あってますかね?]

 定理1. $|E[R_s - \rho_{xy}]|$の上界は...[省略するけど、すっごくややこしい式になる。3頁にわたる証明がついている。思うに、ここが3本の論文を通じたハイライトシーンなんだろうな]

 定理2. $R$のMSE $E[(R_s -\rho_{xy})^2]$は...[省略。この式だけで1ページくらい占めている。すげえなあ]

 推定量の精度は層別無作為抽出のせいでどのくらい改善するかというと...[パス]
 比例割当の場合の最適な層別は...[パス]

論文:データ解析(2018-) - 読了:Wakimoto (1971) 層別抽出デザインにおける母分散・母共分散・母相関の推定