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2018年5月 3日 (木)
Carvalho, A. (2016) A note on Sandroni-Shmaya belief elicitation mechanism. The Journal of Prediction Markets, 10(2), 14-21.
ほんの出来心で目を通したSandroni & Shmaya(2013)がよく分からなかったので、毒を食らわば皿までという気分で(すいません)、こちらもめくってみた。短いし。
Google Scholar上での被引用件数は... 1件だ。いやあ、風情があるなあ。
以下にメモを取るけど、原文にある$x_{max}, x_{min}$は書きにくいので、Sandroni-Shmayaにあわせて$x, y$に書き換える。要するに、クジがあたったときのペイオフ金額と、はずれたときのペイオフ金額のことである。
網羅的かつ相互排他なアウトカムを$\theta_1, \ldots, \theta_n$とする。専門家はアウトカムについての真の信念$p=(p_1, \ldots, p_n)$を持っている。彼が報告する信念$q=(q_1, \ldots, q_n)$を、$p=q$となるようにしたい。
そのための伝統的テクニックとしてプロパー・スコアリング・ルールがある。アウトカム$\theta_x$が観察されたら専門家をスコア$R(q, \theta_x)$で評価し、これに応じてなんらかの報酬を渡す。$p=q$のときそのときに限りスコアが最大化されるとき、これをプロパーという。もっともポピュラーなプロパー・スコアリング・ルールとして、対数ルール$R(q, \theta_x) = log(q_x)$, 二次ルール$R(q, \theta_x) = 2q_x - \sum_k^n q_k^2$がある。
プロパー・スコアリング・ルールは専門家がリスク中立だという仮定に基づいている。しかし、たとえばリスク志向的な専門家は信念をシャープに報告しがちになるだろう。
リスク中立性が維持できない場合の方法として、効用関数を$U(\cdot)$としてスコアを$U^{-1}(R(q, \theta_x))$とする方法がある(Winkler, 1969 JASA)。[つまり効用がR(q, \theta_x)となるようにあらかじめ変換しておくということね。Winklerってひょっとして、おととしベイジアン合意について調べていたときに出てきた、あのWinklerさん？ 世間狭いなあ...]
このアプローチは次の2つの条件に依存する。(1)専門家の振る舞いが、期待効用理論に従って既知。(2)専門家の効用関数$U(\cdot)$が既知。これらの条件には無理がある。
そこで登場する回避策が、あらかじめ専門家のリスク態度を規定する要素を調べておこうというもの。そうすれば、それらの要素の影響を取り除くことで、専門家の報告を事後的にキャリブレートできる。
この路線においても、専門家がなんらかの決定モデルに従って振る舞うという仮定が必要になる。決定モデルが誤っていたらおじゃんである。
そこでいよいよ登場するのが、支払いをクジで決めるという路線である。
Allen(1987 MgmtSci)は、専門家の効用関数が未知である場合に、条件つきクジをつかった効用の線形化によって誠実な報告を引き出すという手法を提案した。
またKarni(2009, Econometrica)は、金額を2つに固定し、専門家が報告した確率を[0,1]の一様乱数と比較することで支払関数を決めるという方法を提案した。この方法だと、専門家がprobablistic sophistication and dominanceを示すなら、リスク態度と関わりなく、誠実な申告が専門家にとって最適になる。
AllenとKarniのアプローチは、考え方として古典的なBDMメカニズムと似ている。実験場面ではBDMメカニズムにうまく対処できない被験者がいることが知られている(Cason & Plott 2014 J.PoliticalEcon.; Plott & Zeiler 2005 Am.Econ.Rev.; Rutstrom 1998 IntJ.GameTheory)。
お待たせしました。本論文の主役、Sandroni & Shmaya (2013)の登場です。
信念報告というのはクジの選択みたいなものである。$n=2$の場合について考えよう。$q=(q_1, q_2)$と報告するということは、
$[R(q, \theta_1):p_1, R(q, \theta_2):p_2 ]$
というクジを選んだのとおなじことである。
報酬$x > y$, 確率$0 \leq \rho, \rho' \leq 1$として、
クジA: $[y:\rho, x:1-\rho]$
クジB: $[y:\rho', x:1-\rho' ]$
があるとき、$\rho < \rho'$のときそのときに限りBよりAが選好される、ということをprobabilitic dominanceという。
Sandroni & Shmaya (2013)の主張は次の通り。proabilistic sophisticationは成り立っているとする[←これについては説明がない...]。誠実な信念報告を引き出すためには、probabilistic dominanceさえ成り立っていればよい。
彼らが提案した支払スキーマはこうである。[0,1]に規準化されたプロパー・スコアを$S(q, \theta_x)$とする。(1)アウトカム$\theta_1$が起きたら、確率$S(q, \theta_1)$で$x$を払い、確率$1-S(q, \theta_1)$で$y$を払う。(2)アウトカム$\theta_2$が起きたら、確率$S(q, \theta_2)$で$x$を払い、確率$1-S(q, \theta_2)$で$y$を払う。
この提案のポイントは、専門家のリスク態度についてなにも仮定していないという点である。なお、BDMメカニズムとの違いは、支払い決定にあたって外部のランダム化装置が不要であるという点である[原文: "This mechanism differes from Becker-DeGroot-Marschak based mechanisms in that no external randomization device other tha nature is required to determine an expert's payment." よくわからない。BDMメカニズムでもSandroni & Shmayaでも、ペイオフ決定にあたってはなんらかの確率乱数の生成が必要じゃないの？]
さて、Sandroni & Shmaya が見落としている点がある。
彼らは、専門家からみて、次の2種類のクジが等しいと考えている。
クジその1、上述のクジ。(1)アウトカム$\theta_1$が起きたら、確率$S(q, \theta_1)$で$x$を払い、確率$1-S(q, \theta_1)$で$y$を払う。(2)アウトカム$\theta_2$が起きたら、確率$S(q, \theta_2)$で$x$を払い、確率$1-S(q, \theta_2)$で$y$を払う。
クジその2。アウトカム$\theta_1, \theta_2$の真の主観確率を$p_1, p_2$とする。確率$p_1 S(q, \theta_1)+ p_2 S(q, \theta_1)$で$x$を払い、確率$p_1 (1-S(q, \theta_1))+ p_2 (1-S(q, \theta_1))$で$y$を払う。
この2つのクジが等しいというのは、自明ではない。Sandroni & Shmayaは暗黙のうちに、合成くじの分解(reduction of compound lotteries; ROCL)の定理を仮定しているのである。
残念ながら、現実にはROCL定理は必ずしも維持されない。Harrison, et al.(2014 J.Econ.Behav.Org)をみよ。彼らによれば、選択が二値の場合はROCLは維持されるが、多値の場合には維持されない。
では、アウトカムが二値であればSandroni & Shmayaのメカニズムは真実報告を引き出すか。そうかもしれないし、そうでないかもしれない。信念報告をクジの選択と捉えた時、$q=(q_1, q_2)$と報告するということは、(2個ではなくて)無限個のクジのなかから
$[R(q, \theta_1):p_1, R(q, \theta_2):p_2 ]$
を選ぶということだからである。
さらにいえば、Harrisonらの実験はすべての専門家の信念が互いに等しいような場面でのものであって、一般的な不確実性についていえるのかどうかはオープン・クエスチョンである。
...ふうん。
知識が足りなくて、このモヤモヤをうまく表現できないんだけど... 「人にはリスク選好ってのがある」という指摘と、「人は必ずしもROCL定理に従わない」という指摘は、同じレイヤの話なんだろうか？
というわけで、この論文の意義については判断できないけど、先行研究概観は勉強になりました。
論文：予測市場 - 読了：Carvalho (2016) 当たり外れがプロパー・スコアリング・ルールで決まるクジを報酬にすれば参加者のリスク選好がどうであれ真実申告メカニズムが得られるというのは本当か