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2018年7月10日 (火)
これは徹頭徹尾自分向けのメモでございます。
仕事の都合で空間計量経済学の資料をあたっていると、XXXモデルという英字三文字の略語が乱舞し、しかもその意味が人によってかなりちがっていたりする。
許すまじ学者ども、とっつかまえて海の藻屑にしてやろうか、と腹を立てていたのだが、怒っていてもらちがあかないので、メモをとってみた。とりあえず、いま手元にある3冊のデータ解析者向け解説書の記述を比較しておく。
瀬谷・堤(2014)「空間統計学」
6.1, 6.2.1, 6.2.2よりメモ。
いわく。格子データのモデリングは大きく次の２つに分類できる。
- マルコフ確率場・条件分布に基づく方法。Besag(1974)が代表的。conditional autoregressive model(CAR)を使うことが多い。階層ベイズモデルの枠組みで便利。しかし、空間重み行列が対称であることが求められるので、空間計量経済学ではあまり用いられない。
- 非マルコフ確率場・同時分布に基づく方法。Anselin(1988)が代表的。smimultaneous autoregressive model (SAR)を用いることが多い。
というわけで、以下では後者について解説する。
空間計量経済学においては、空間自己相関をモデル化する際、次の2つのモデルがよく用いられる。
1. 空間ラグモデル(spatial lag model, SLM)。mixed regressive spatial autoregressive model, spatial autoregressive model(SAR)と呼ばれることもある。
SLMでは従属変数間に自己相関を導入する。空間的・社会的な相互作用の結果として生じた「均衡」のモデル化だといえる。一般的な形式としては
$y_i = g(y_{j \in S_i}) + \beta_0 + \sum_h x_{hi} \beta_h + e_i$
ふつうは空間重み行列を使って単純化する。
$y_i = \rho \sum_j^n w_{ij} y_j + \beta_0 + \sum x_{hi} \beta_h+ e_i$
右辺に$y$の空間ラグがあるという意味では時系列でいう自己回帰と似ている。
行列で書くと
$\mathbf{y} = \rho \mathbf{W} \mathbf{y} + \mathbf{X} \mathbf{\beta} + \mathbf{e}$
2. 空間誤差モデル(spatial error model, SEM)。これがsimultaneous autoregressive model(SAR)と呼ばれていることもある。
SEMでは誤差項間に自己相関を導入する。経済理論的な理由というより、空間的に系統性のある観測誤差といったデータの問題を処理するために用いられることが多い。
誤差項のモデル化の方法にはたくさんある。4つ紹介するが、いちばん良く用いられているのは2-1.SAR誤差である。
2-1. SAR誤差(spatial autoregressive)。これを狭義のSEMと呼ぶこともある。
$\mathbf{y} = \mathbf{X} \mathbf{\beta} + \mathbf{u}, \ \ \mathbf{u} = \lambda \mathbf{W} \mathbf{u} + \mathbf{e}$
$\mathbf{u}$の共分散行列は
$E[\mathbf{uu}'] = \sigma_e^2(\mathbf{I}-\lambda \mathbf{W})^{-1} (\mathbf{I}-\lambda \mathbf{W'})^{-1}$
となる。ここで$(\mathbf{I}-\lambda \mathbf{W})^{-1}$を空間乗数という。$\mathbf{I}-\lambda \mathbf{W}$が正則であることが求められる。
SAR誤差モデルの場合、ある地点のショックが他のすべての地点に波及する。また、地点の近傍集合の個数が地点によって違うとき、たとえ$e$がiidであっても$\mathbf{u}$の分散は不均一になる。
2-2. SMA誤差(spatial moving average)。
$\mathbf{u} = \gamma \mathbf{W} \mathbf{e} + \mathbf{e}$
$\mathbf{u}$の共分散行列は
$E[\mathbf{uu}'] = \sigma_e^2(\mathbf{I}+\gamma \mathbf{W})(\mathbf{I}+\gamma \mathbf{W})'$
ある地点におけるショックは、$\mathbf{W}$を通した1次の影響と, $\mathbf{WW}'$を通した2次の影響しかもたない。なお、SAR誤差と同じく、地点の近傍集合の個数が地点によってちがうと共分散は定常でなくなる。
2-3. SEC誤差(spatial error component)。
$\mathbf{u} = \mathbf{W} \mathbf{\phi} + \mathbf{e}$
誤差をスピルオーバーする部分$\mathbf{\phi}$としない部分$\mathbf{e}$に分けている。$\mathbf{\phi}$と$\mathbf{e}$の各要素はiidで、2本のベクトル間に相関はないと考える。
$\mathbf{u}$の共分散行列は
$E[\mathbf{uu}'] = \sigma_\phi^2 \mathbf{WW}' + \sigma_e^2 \mathbf{I}$
SEC誤差はもともとSAR誤差の代替案として提案されたものであった。$(\mathbf{I}-\lambda \mathbf{W})$は正則でなくてもよい。しかし共分散行列をみると、局所的相関しか考慮していないわけで、むしろSMA誤差に近い。
2-4. CAR誤差(conditonal autoregressive)。
これはSAR誤差との対比で紹介されることが多い。SAR誤差では$\mathbf{u}$の同時分布をモデル化したが、ここでは近隣集合の下での条件付き分布をモデル化する。
$E(u_i | u_j, j \neq i) = \eta \sum_j w_{ij} u_j$
$\mathbf{W}$にいくつか制約をつけると、
$E[\mathbf{uu}'] = \sigma^2 (\mathbf{I} - \eta \mathbf{W})^{-1}$
となる。
[話がすごくややこしいが、2.の空間誤差モデルの一部ではあるものの、2-1,2-2,2-3のような同時自己回帰モデルではないわけだ]
3. SLM(空間ラグモデル)とSEM(空間誤差モデル)の複合型もある。
3-1. 一般化空間モデル(SACモデル)。
[別の資料によれば、SACとはgeneral spatial autoregressive model with a correlated error termの略である由。] SARARモデルともいう(spatial autoregressive model with spatial autoregressive disturbances)。
$\mathbf{y} = \rho \mathbf{W} \mathbf{y} + \mathbf{X} \mathbf{\beta} + \mathbf{u}, \ \ \mathbf{u} = \lambda \mathbf{W} \mathbf{u} + \mathbf{e}$
空間ラグモデルと空間誤差モデル(SAR誤差)をあわせたものになっている。
3-2. 空間ダービンモデル(spatial Durbin model, SDM)。
$x$は定数項抜きとして、
$\mathbf{y} = \rho \mathbf{W} \mathbf{y} + \mathbf{X} \mathbf{\beta} + \mathbf{W x \delta} + \mathbf{e}$
SACモデルから$\mathbf{W u}$を落として、かわりに従属変数と説明変数の空間ラグをいれているわけだ。実はこのモデル、SAR誤差モデルから導くことができる。
古谷(2011)「Rによる空間データの統計分析」
上記のメモとの対応は以下の通り。
- 10.4.1 同時自己回帰(SAR)モデル... 誤差の自己相関パラメータが空間重みづけ行列で決まるのであれば、同書10.5.2と同一。すなわち 2-1. SAR誤差モデル。
- 10.4.2 条件付き自己回帰(CAR)モデル... 2-4. CAR誤差モデル。
- 10.5.1 空間的自己回帰モデル(空間同時自己回帰モデル, spatial auto-regression model) ... 1. 空間ラグモデル。
- 10.5.2 誤差項の空間的自己回帰モデル(空間誤差モデル, SEM, spatial error model) ... 2-1. SAR誤差モデル。
- 10.5.3 空間ダービンモデル ... 3-2.空間ダービンモデル。
谷村(2010)「地理空間データ分析」
上記のメモとの対応は以下の通り。
- 5.1.2 空間ARモデル ... 1.空間ラグモデルの、共変量がないやつ。
- 5.1.3 空間同時自己回帰モデル ... 1.空間ラグモデル。
- 5.1.4 空間誤差モデル(spatial error model, SEM) ... 2-1.SAR誤差モデル。
- 5.1.5 空間Durbinモデル(spatial Durbin model, SDM) ... 3-2.空間ダービンモデル。
- 5.1.6 条件付き自己回帰モデル(conditional autoregressive model, CAR model) ... 2-4.CAR誤差モデル。
雑記：データ解析 - 覚え書き: 空間計量経済学における忌まわしき英字三文字略語たち