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2019年10月15日 (火)
Hardie, B.G.S., Fader, P.S., Wisniewski, M. (1998) An empirical comparison of new product trial forecasting models. Journal of Forecasting, 17, 219-229.
消費財の新製品トライアル売上を説明するモデルをいろいろ集め、実データにあてはめて比べてみました、という論文。
新製品売上予測モデルのバトルロイヤル企画としてはM Competitionsが有名だけど、これはそのトライアル版。まあ誰でも思いつきそうな研究ではあるが(すいません)、レビューのところが勉強になりそうだと思ってめくった。
イントロ [...省略。トライアル売上の予測がいかに大事かというような、まあそりゃそうでしょという話。直接の先行研究としてMahajan, Muller, & Sharma (1984 MktgSci)を挙げている。あれは認知率の予測じゃなかったっけか。ともかく、読まなきゃいけないなあ]
CPG(consumer packaged goods)のトライアル予測モデルのうち、パネル/サーベイデータを使い、マーケティング意思決定変数(価格とか広告とか)を使わない8つのモデルを選んだ。
それでは選手登場です。拍手でお迎えください！
1. 非トライアル者つき指数モデル
Fourt & Woodlock(1960)は、累積トライアルの天井を$x$, 浸透速度を$r$, 上市からの離散時間を$i$として、時点$i$のトライアル増分を$r x (1-r)^{i-1}$とした。
連続時間で定式化しよう。ランダムに選んだパネリストについて、その人がトライアルするまでの時間が指数分布 $f(t) = \theta \exp(-\theta t)$に従うとする(つまりある人の非トライアル下での瞬間トライアル率は定数$\theta$)。で、$\theta$の分布は確率$p$で$g(\theta)=\lambda$, 確率$1-p$で$g(\theta)=0$としよう。このとき、累積トライアル率は
$P(t) = p (1- \exp(-\lambda t))$
Fourt-Woodlockいわく、このモデルでは累積トライアルの曲線が比較的すぐにフラットになってしまうけど、現実のデータはそうでもない。購入頻度に異質性があるからだろう。
2. 非トライアル者・ストレッチ因子つき指数モデル
というわけで、Fourt-Woodlock、Eskin(1973)、Kalwani & Silk (1980 JMR) らはこう拡張した：
$P(t) = p (1- \exp(-\lambda t)) + \delta t$
[あまりに単純な拡張でびっくり。なんすか$\delta$って... 実質的な解釈は難しいよね]
3. 指数ガンマモデル
いっぽうAnscombe (1961 JASA)は異質性を直接モデル化することを考えた。ガンマ混合分布を考える。
$g(\theta | r, \alpha) = \frac{\alpha^r \theta^{r-1} exp(-\alpha \theta)}{\Gamma(r)}$
ここから
$P(t) = 1 - (\frac{\alpha}{\alpha + t})^r$
これはNBDモデルの待ち時間版だと考えてもよい。
4. 非トライアル者つき指数ガンマモデル
上のモデルで、$\theta$の分布がすごく左に寄っているというかたちで非トライアル者の存在を表現することもできるんだけど、そうすると$\theta$の平均や分散を解釈しにくくなるので、明示的に表現して
$P(t) = p \left( 1 - (\frac{\alpha}{\alpha + t})^r \right)$
なお、これはもともと Kalwani & Silk (1980) がリピート購買に当てはめたモデルであった。
5. 非トライアル者つきワイブル・ガンマモデル
Massyという人が60年代に提案した STEAM(Stochastic evolutionaly adoption model)というのがある。トライアルと初回リピートとその後のリピートについてそれぞれモデル化するという複雑な提案である。
トライアルについていうと、瞬間トライアル率を(定数じゃなくて)時間の関数と見ている。つまり購買間隔はワイブル分布になる。異質性はガンマ分布で表現するので、ワイブル分布のガンマ混合ということになる。ほかにいくつかの仮定を付け加えると下式になる。$c=1$なら非トライアル者つき指数ガンマモデルとなる。
$P(t) = p \left( 1- \left[\frac{\alpha c}{(t+1)^c + \alpha c - 1}\right]^r \right)$
6. 対数正規-対数正規モデル
Lawrenceという人は、購買間隔が(指数分布じゃなくて)対数正規分布に従うと仮定した。でもって、その平均が消費者間で対数正規分布すると仮定すると、$\Lambda(t|\mu, \sigma^2)$を$N(\mu, \sigma^2)$の対数として
$P(t) = \frac{1}{\exp(\mu+\sigma^2/2)}(1-\Lambda(t|\mu, \sigma^2)) + \Lambda(t|\mu+\sigma^2, \sigma^2)$
となる。[ほへぇぇ... 恥ずかしながら初めて聞いたぞ。Lawrence(1979 Euro.Res.; 1982 Euro.Res.; 1985 Mktg Intelligence & Plannning)というのが挙げられている]
7.「二重指数」モデル
Greeneという人の提案。
$P(t) = \frac{p}{\beta - \alpha} (\beta (1-\exp(-\alpha t) - \alpha (1-exp(-\beta t))$
これは購買行動についての仮定からではなくて、単なる曲線近似。Greeneさんは累積トライアル曲線が経験的にS字型だと考えたのでこういう提案をした。
8. Bassモデル
いよいよ本命、Bass(1969)の登場である。ひかえおろう。
$P(t) = p \left( \frac{1-\exp(-(\alpha+\beta)t}{1+(\beta/\alpha) \exp(-(\alpha+\beta)t)} \right)$
$\beta =0$なら非トライアル者つき指数モデルになる。
超有名なモデルではあるが、CPGへの適用は実はきわめてレア。
選手紹介は以上だが、Bassモデルを除いて、普及モデルなら考えるであろう消費者間の影響を考えていない点にご注目。CPGだからね。トイレットペーパーについてクチコミしないからね。
ここで浮かぶ疑問は、WoMがないんなら、なぜに累積トライアル曲線がS字型になることがあるのか、という点である(モデル5,6,7,8はS字型を表現しうる)。ひとつの説明は、実際の市場はテストマーケットと異なり配荷がコントロールされていない、S字型になるのは配荷のせいで行動のせいじゃないんじゃない、というもの。
ついでに予選落ちした諸君をご紹介しよう。Massy et al.(1970 書籍)はさまざまなモデルを提案している(ロジスティックモデルとか線形学習モデルとか)。既存製品の購買行動のモデルを新製品に適用するという手もある[Aaker(1971 MgmtSci.), Herniter(1971 MgmtSci.)というのが挙げられている]。
IRIのスキャンデータを使う。このデータでは新製品の配荷は常に100%である[どういう仕組みなのかねえ...]。4カテゴリ、19新製品。
それぞれの新製品について、52週間のトライアル購入者がわかる。前半の26週(ないし13週)でモデルを推定し、残りをあてにいく。
以下、週$t$の実浸透率を$Y(t)$, その推定値を$P(t)$, 前週からの増分を$y(t)$と$p(t)$, 世帯数を$N$, 推定に使った期間の週数を$T$と書く。
推定は3種類。
- MLE。尤度は
$L = (1-P(t))^{N(1-Y(T))} \prod_{t=1}^T p(t)^{Ny(t)}$
となりますね。モデル2は推定できない。 - 増分の差の平方和 $\sum_t^T (y(t)-p(t))^2$を最小化するNLS。
- 累積の差の平方和$\sum_t^T (Y(t) - P(t))^2$を最小化するNLS。
指標として、テスト期間の累積トライアルのMAPE, ないし52週目の累積トライアルのAPEをみる。
結果。
モデル1,2,3,4の成績がよい。つまり、単純にconcaveなモデル(S字型を表現できないモデル)の勝ち。
26週で学習した場合、優勝はモデル2。ただし13週の場合、成績ががくっと落ちる。13週での優勝は、なんとモデル1。要するに、ストレッチ因子$\delta$は学習期間がある程度長いときに効いてくるわけだ。
モデル3,4は優勝は逃したが、26週でも13週でもそこそこの成績を示す。
下位集団のなかで検討しているのはモデル5で、平均すると5位だが、実は26週でも13週でも4位につけている。その次がBassモデルと「二重指数」モデル。堂々の最下位は対数正規-対数正規モデルであった。
推定方法をみると、MLEと累積NLSが良い。学習期間が長いとMLEが優位となる。もっともモデルとの交互作用もあって、model 3やBassモデルはMLEがよい。
52週目のAPEを指標としても、だいたい似たような結果。
浸透限界$p$を想定する6モデルについて$\hat{p}$や$P(52)$を$Y(52)$と比べると、いずれも過小評価が起きやすい。いっぽう残りの2モデルでは過大評価が起きやすい。
このように浸透限界の推定は難しい。Van den Bulte & Lilien (1997 MktgSci.)は浸透限界はなにか別の方法で推定したほうがいいと述べているが[←へー]、それは耐久財の話であって、CPGでは難しいね。
結論と考察。
- 単純なモデルがよろしい。
- 異質性を明示的にモデル化するのがよろしい。
- 非トライアル者を考慮する意義は小さい。モデルに入れると過小評価、いれないと過大評価につながる。
- 推定方法はMLEがおすすめ。学習期間が短い場合は累積NLSもあり。
- 学習期間の長さは大事。
- 学習期間におけるモデル適合にはあまり意味がない。
最近の実務家や研究者は、新製品トライアルモデルはどのモデルでもロバストだしモデル間で大差ないと思っているかもしれないが、そうではない。モデル選択は大事です。
云々。
... なかなか面白かった。
この研究の最大の知見は「シンプルなモデルがよい」だと思うのだが、これは要するに、「この研究で使ったデータでは、トライアル売上はどの新製品でも上に凸な曲線だった」ということを意味しているのではないかと思う。
とすると、この知見はどこまで一般化できるだろうか。この論文で使ったデータはジュース, クッキー、スナック、ドレッシングのトライアル売上で、いずれもクチコミは効きそうにないが、消費財にだってクチコミが効くカテゴリはあるのではなかろうか(化粧品とか？)。また、この論文の時代と比べて小売の商品管理はもっと発達しているだろう。コンビニのように、商品の回転率をシビアに観察して棚をひんぱんに入れ替えている業態を考えると、売上曲線の初期の立ち上がりがのちの配荷に影響し、S字型のトライアル売上曲線が生じたりしないかしらん。
どうでもいいけど、論文の最後に「本論文ではなんら複雑なソフトは使ってません。全部Excelのソルバーでやりました。まあ時間はかかったけどな」と書いていて、笑ってしまった。そこを自慢するのね。
論文：マーケティング - 読了：Hardie, Fader & Wisniewski (1998) 消費財トライアル売上予測バトルロイヤル