« 「みんなが思うよりも意外に多い」回答はなぜ正しいか：その3 | メイン | 読了：Zallar & Feldman (1992) 調査は「真の態度」の測定ではない、むしろアイデアのサンプリングだ »
2017年8月17日 (木)
Prelec, et al.(2017, Nature) の自分向け徹底解説、最終回。前回は、世界の数と知識の状態の数が等しいとき、回答から正解を導く方法が示された。今回はこれを、世界の数と知識の状態の数が異なる場合へと一般化する部分である... はずだ。
前回までのあらすじ
いまここに$m$個の可能世界がある。私たちはどの世界が現実なのかを知らない。そこで、$m$個の選択肢を提示し、いずれが正しいと思うかを人々に投票させる。その結果に基づき、どの可能世界が現実かを同定したい。
- 世界を確率変数$A$で表す。$A$は$m$個の可能世界$\{a_1, \ldots, a_m\}$を値としてとる。そのうち現実世界を$a_{i*}$とする。
- 個々の対象者の知識を、プライベートな「シグナル」$S$とみなす(特に明示したい場合は、対象者$r$が持っているシグナルを$S^r$と表記する)。対象者間の知識の差異はすべてシグナルで表現されていると考える。$S$はカテゴリカル確率変数で、値として$\{s_1, \ldots, s_n\}$をとる。任意の$k=\{1,\ldots,n\}$について$Pr(S = s_k) > 0$とする。
- 世界$a_i$の下で、異なる対象者のシグナルは独立に確率分布$Pr(S = s_k | A = a_i)$に従うと考える。
- 世界についての事前分布を$Pr(A=a_i)$とする。この事前分布は、すべての回答者の共通知識である証拠と整合的な確率を与えていると考える。任意の$i=\{1,\ldots,m\}$について$Pr(A=a_i) > 0$とする。
- 対象者は同時確率$Pr(S = s_k, A=a_i)$を知っていると想定する。この同時確率が可能世界モデルを定義している。しかし人々は、どの$a_i$が正解$a_{i*}$なのかを知らないし、シグナルの実際の分布も知らない。
- 対象者$r$の、「いずれが正しいと思うか」投票を$V^r$とする。$V^r$は$S^r$の関数であり、値として$\{v_1, \ldots, v_m \}$をとる。
- [定理1] 実際のシグナルの分布についての知識$Pr(S = s_k | A=a_i*)$と、それらのシグナルによって示唆される事後確率 $Pr(A=a_i | S = s_k)$に依存するアルゴリズムからは、正解は演繹できない。
- [定理2] $m=2, n \geq 2$のとき、任意の$s_j$について$Pr(V=v_{i*} | S=s_j) \leq Pr(V=v_{i*}| A=a_{i*})$であり、$Pr(A=a_{i*}| S=s_j)$のときに限り等号が成り立つ。つまり、個々の選択肢への投票の推定値の平均は、正解について過小評価となる。
- [定理3] $m=n, V(S=s_i) = v_i, Pr(A=a_i | S=s_i) > Pr(A=a_i | S=s_j)$とする。答え$a_k$への予測規準化投票$\bar{V}(k)$を以下のように定義する。
$\displaystyle \bar{V}(k) = Pr(V = v_k | A = a_{i*}) \sum_i \frac{Pr(V^q = v_i|S^r=s_k)}{Pr(V^q=v_k|S^r=s_i)}$
ただし$0 / 0 \equiv 0$。このとき、正解はもっとも高い予測規準化投票を持つ答えである。
世界が3つ以上、シグナルが2つの場合
以下では、世界が3つ以上、シグナルは2つの場合について考える。ここでは、シグナルは偏りのあるコインのトスのようなものである。
ある$a_i$について、ベイズの定理より、
$Pr(S = s_1 | A = a_i) = Pr(A = a_i | S = s_1) Pr(S=s_1) / Pr(A=a_i)$
$Pr(S = s_2 | A = a_i) = Pr(A = a_i | S = s_2) Pr(S=s_2) / Pr(A=a_i)$
比をとって
$\displaystyle \frac{Pr(S = s_1 | A = a_i)}{Pr(S = s_2 | A = a_i)}$
$\displaystyle = \frac{Pr(A = a_i | S = s_1) Pr(S=s_1)}{Pr(A = a_i | S = s_2) Pr(S=s_2)}$
分子と分母を$P(S=s_1)P(S=s_2)$で割って
$\displaystyle = \frac{Pr(A = a_i | S = s_1) /Pr(S=s_2)}{Pr(A = a_i | S = s_2) /Pr(S=s_1)}$
分子と分母に$Pr(S^q = s_1, S^r=s_2)=Pr(S^q = s_2, S^r=s_1)$を掛けて
$\displaystyle = \frac{Pr(A = a_i | S = s_1) Pr(S^q = s_1, S^r=s_2)/Pr(S=s_2)}{Pr(A = a_i | S = s_2)Pr(S^q = s_2, S^r=s_1) /Pr(S=s_1)}$
$\displaystyle = \frac{Pr(A = a_i | S = s_1) Pr(S^q = s_1 | S^r=s_2)}{Pr(A = a_i | S = s_2)Pr(S^q = s_2 | S^r=s_1)}$
つまり、私たちはコインの偏りそのものは知らないけれど、世界についての事後確率とペアワイズの予測を通じて、コインの偏りを推測することはできるわけである。
対象者に自分のコイントスの結果を報告してもらうとしよう。その結果は、$Pr(S=s_1|a_{i*})$と$Pr(S=s_2|a_{i*})$に収束するだろう。従って
$\displaystyle i = i* \Leftrightarrow \frac{Pr(A = a_i | S = s_1) Pr(S^q = s_1 | S^r=s_2)}{Pr(A = a_i | S = s_2)Pr(S^q = s_2 | S^r=s_1)} = \frac{Pr(S=s_1|a_{i*})}{Pr(S=s_2|a_{i*})}$
[ちょっ、ちょっと待って! これは定理2や定理3とどういう関係にあるの？ 同じことを言っているの、それとも違う話なの?! わからなーい...]
[ここから逐語訳...]
具体例を挙げよう。3枚のコインを想定する。アプリオリには等しくもっともらしい。(A) 2:1でオモテが出やすいコイン。(B) 2:1でウラが出やすいコイン。(C) 偏りのないコイン。
実際のコインは(C)だとしよう。対象者は、自分のトス、(A)(B)(C)の事後確率、トスの予測分布を報告する。トスの報告は表と裏が五分五分となる結果に収束する。そこから、分析者は実際のコインが偏りのないコインであることを学ぶ。しかし、(A)(B)(C)のどれが偏りのないコインなのかを分析者はまだ知らない。[←ここの意味がわからない...]
対象者は、自分のトスにベイズの規則を適用し、事後確率を引き出して報告する。トスが表であった対象者にとっての(A)(B)(C)の事後確率は(4/9, 2/9, 1/3)であり、トスが裏であった対象者にとっての(A)(B)(C)の事後確率は(2/9, 4/9, 1/3)である。この情報によって、いまや分析者は(A)(B)(C)の正確な事後分布を知る。しかし、定理1が示しているように、こうした事後確率分布としてどんな分布が手に入ったとしても、それは3種類のコインのどれとでも整合可能である。
ここで、予測を付け加えることで現実世界を同定できる。上の例の場合、想定が対称的であるから、対象者の予測もまた対称的である。すなわち$p(s_j|s_k)=p(s_j|s_k)$である[←これ、なにかの誤植じゃないかなあ...]。予測と事後確率に基づき、分析者はそれぞれの可能なコインのバイアスを計算できる。ここで、コイン(C)は偏りのないコインであり、計算されたバイアスと実際のバイアスが一致する唯一のコインである。従って分析者は、実際のコインは(C)に違いないと演繹する。
[すいません、逐語訳しましたが、やっぱりわかりません... 話の主旨はわかるが、定理2, 定理3との関係がつかめない]
世界が3つ以上、シグナルが3つ以上
同じ方法が、シグナルが2つよりも多い一般的な場合にもあてはまる。しかし、elicitationがシグナルと世界の可能な状態と分離するという点が重要である。対象者はシグナルを報告し、シグナルを予測し、世界の状態に事後確率を付与する。
...というわけで、Prelec, et al. (2017) のSupplementary Informationを四回にわたってゆっくり読み進めてきたのだが、大変残念なことに、第四回の後半から途方に暮れた。一行一行は理解できるのだが、話の流れがつかめないのである。能力が足りないと云わざるを得ない。哀しい。
ま、ほとぼりが冷めたら、また読み直してみよう。ないし、誰かが私レベルに向けてわかりやすく解説して下さるのを待とう。
雑記：データ解析 - 「みんなが思うよりも意外に多い」回答はなぜ正しいか：その4