Aravindakshan, A., Naik, P.A. (2011) How does awareness evolve when advertising stops? The role of memory. Marketing Letters, 22, 315-326.
先日仕事の都合で読んだ奴。内容をかなり忘れちゃったんだけど、整理の都合上メモを記録しておく。
いわく、
広告出稿をやめたら売上は落ちるはずなのだが、経験的には必ずしもすぐには落ちない。これを説明するモデルをつくろう。
広告によるブランド認知の形成のもっともポピュラーなモデルはNerlove-Arrowモデルだ。時点\(t\)における認知\(A(t)\)の変化 \(\dot{A} = \frac{dA}{dt}\)について$$ \dot{A} = \beta u(t) – \delta A(t)$$ とする。\(\beta\)が広告効率、\(\delta\)が忘却率ね。
広告出稿をやめてから認知が90%に減衰するまでの時間を\(D_0\)とする。つまり\(A(t+D_0) = 0.1A(t)\)ね。$$D_0 = \log(10)/\delta $$となる。
さて、この標準的モデルでは、消費者の忘却は即時的にはじまる。これを拡張し、消費者が広告を期間\(\tau\)だけ覚えていると考えて $$ \dot{A} = \beta u(t) – \delta A(t-\tau)$$ としよう。詳細はAppendixをみてほしいが[みてません]、\(D_0\)のかわりに$$D_\tau = – \tau \log(10) / \omega_0(-\delta \tau)$$となる。分母にあるのはオメガ関数という、指数関数みたいな感じの関数で…[メモ省略]。
ついでにもっと拡張しよう。
消費者\(i\)が広告を期間\(s_i\)だけ覚えていて、その分布が\(\phi(s_i)\)だとする。平均を\(\bar{\tau} = \int s_i \phi(s_i) d s_i\)とする。このときは$$ D_\tau = -\bar{\tau} \log(10) / \omega_0(-\delta \bar{t}) $$ となる。
消費者が広告を覚えている期間が接触によっても異なるとしよう。このときは、まあAppendixをみてほしいんだけど[みませんよ、まったくもう]、 $$ D_\tau = -\tau \log(10) / 2 \omega_0 (-\sqrt{\delta \tau^2}/2) $$ となる。
[話を元にもどして…ということだと思う]
記憶ありモデル \(\dot{A} = -\delta A(t-\tau)\)の\(t\)を離散化して遷移方程式にすると$$ A_t = A_{t-1} – \delta A_{t-\tau} + v_t, \ \ v_t \sim N(0, \Sigma_v)$$ これだとマルコフ過程になっていなくて困るので、左辺をベクトル\(\alpha_t = (A_t, A_{t-1}, \ldots, A_{t-\tau+1})^\top \)としたモデルに書き換える[詳細略]。すると\(\alpha_t\)は\(\alpha_{t-1}\)にのみ依存するのでマルコフ過程になる。で、観察された認知率を$$ Y_t = (1, 0, \ldots, 0) \alpha_t + \epsilon_t, \ \ \epsilon_t \sim N(0, \sigma^2_\epsilon)$$ とする。[なるほどね、状態変数が\(\tau\)個ある状態空間表現にむりやり書き換えるわけね]
すると尤度関数は[…中略…]。で、\(AIC_C(\tau)\)が最小となる\(\tau\)を選べばよい。
モンテカルロ・シミュレーションすると、真値がうまく再現できました。
分析例。
プジョー・シトロエンはプジョー206の広告認知率を監視している。ところがあるとき広告出稿をやめたことがあった[理由は説明されてない。なぜだったんだろうか]。広告出稿をやめてから32週間のデータを分析しよう。なお、認知率は期間中の平均で0.6%。あんまり落ちてない。
提案モデルをあてはめると、\(\tau = 3\)となった。このデータについては記憶ありのモデルのほうがよいわけだ。なお、標準的モデルを当てはめると忘却率が過大評価されてしまう。
今後の課題。(1)広告出稿しているときに記憶を推定する。(2)広告の記憶における競争の役割。(3)今回は忘却開始時点を等質とみたけれど、ここにも個人差をいれる。(4)記憶を状態依存にする、つまり\(\tau = f(y_{t-1})\)というふうにする。[うわあ、めんどくせえ]
云々。